コーシー・シュワルツの不等式の証明【示すべき形から方針を決定する】【2011年度 大分大学】 - 筏 竿 ヘチ 竿 違い
イメージですが、次のようにすると\(x\) と\( y \) を消去することができますよね。 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}&=1+4\\ &=5 この左辺 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y} の形はコーシ―シュワルツの不等式の右辺と同じ形です。 このことから「コーシーシュワルツの不等式を利用してみよう」と考えるわけです。 コーシ―シュワルツの不等式の左辺は2乗の形ですので、実際には、次のように調整します。 コーシーシュワルツの不等式より \{ (\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2\} \{ (\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2 \} \\ ≧ \left(\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2 整理すると \[ (x+4y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)≧3^2 \] \( x+4y=1\)より \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}≧9 \] これより、最小値は9となります。 使い方がやや強引ですが、最初の式できてしまえばあとは簡単です! 続いて等号の成立条件を調べます。 \[ \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} =\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \] \[ ⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2y} \] \[ ⇔ x=2y \] したがって\( x+4y=1\)より \[ x=\frac{1}{3}, \; y=\frac{1}{6} \] で等号が成立します。 レベル3 【1995年 東大理系】 すべての正の実数\(x, \; y\) に対し \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}≦k\sqrt{2x+y} \] が成り立つような,実数\( k\)の最小値を求めよ。 この問題をまともに解く場合、両辺を\( \sqrt{x} \) でわり,\( \displaystyle{\sqrt{\frac{y}{x}}}=t\) とおいて\( t\) の2次不等式の形に持ち込みますが、やや面倒です。 それでは、どのようにしてコーシ―シュワルツの不等式を活用したらよいのでしょうか?
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コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - Mathwills
覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ のつづきです。 コーシーシュワルツの不等式ってあまり聞きなれないかもしれないけど、当たり前の式だからなんてことないです。 コーシーシュワルツの不等式は または っていう複雑な式だけど 簡単にいえば, というだけ。 内積 は長さの積以下であるというのは自明です。簡単ですね。
2351(コーシー・シュワルツの不等式の使い方) | 大学受験 高校数学 ポイント集
コーシー・シュワルツの不等式を利用して最小値を求める コーシー・シュワルツの不等式 を利用して,次の関数の最大値と最小値を求めよ. $f(x, ~y)=x+2y$ ただし,$x^2 + y^2 = 1$とする. $f(x, ~y, ~z)=x+2y+3z$ ただし,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$とする. $a = 1, b = 2$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ (x+2y)^2\leqq(1^2+2^2)(x^2+y^2) さらに,条件より $x^2 + y^2 = 1$ であるから &\quad(x+2y)^2\leqq5\\ &\Leftrightarrow~-\sqrt{5}\leqq x+2y\leqq\sqrt{5} $\tag{1}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1} $ が成り立つ. $\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1}$の等号が成り立つのは x:y=1:2 のときである. $x = k,y = 2k$ とおき,$\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると &k^2+(2k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5} このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値$f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol{\sqrt{5}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol-{\sqrt{5}}$ となる. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. $a = 1,b = 2,c = 3$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by+cz)^2$ $\leqq(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ &(x+2y+3z)^2\\ &\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2) さらに,条件より $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ であるから &(x+2y+3z)^2\leqq14\\ \Leftrightarrow&~-\sqrt{14}\leqq x+2y+3z\leqq\sqrt{14} \end{align} $\tag{2}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$ が成り立つ.
【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！
/\overrightarrow{n} \) となります。 したがって\( a:b=x:y\) です。 コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。 2次方程式の判別式による証明 ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。 私は感動しました! コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ. \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ② この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると &(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\ & +(x^2+y^2) ≧0 左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。 したがって &\frac{D}{4}=\\ &(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0 これより が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので (at-x)^2=(bt-y)^2=0 x=at, \; y=bt つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。 この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式 {\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \] の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。 「数学ってすばらしい」と思える瞬間です!
コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ
コーシー・シュワルツの不等式 $a,b,x,y$ を実数とすると \begin{align} (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \end{align} が成り立ち,これを コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz's inequality) という. 等号が成立するのは a:b=x:y のときである. 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版- 上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も確認せよ. (右辺) $-$ (左辺)より &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ &=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\ &-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\ &=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0 等号が成立するのは, $(bx − ay)^2 = 0$ ,すなわち $bx − ay = 0$ のときであり,これは のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版- $a,b,c,x,y,z$ を実数とすると & (ax+by+cz)^2\\ \leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) が成り立つことを証明せよ. また,等号が成り立つ条件も求めよ. (右辺) $-$ (左辺)より & a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\ &\quad+c^2(x^2+y^2)\\ &\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\ &=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\ &\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\ &\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\ &=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\ &\quad+(bz-cy)^2\geqq 0 等号が成立するのは, $(ay-bx)^2=0, ~(az-cx)^2=0, $ $~(bz-cy)^2=0$ すなわち, $ ay-bx=0, ~az-cx=0, $ $~bz-cy=0$ のときであり,これは a:b:c=x:y:z \end{align} のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては,付録 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式 を参照のこと.
数学の良さや美しさを感じられる問題に出会えることは、この上ない喜びでもあります。 今回は証明方法についてでしたが、今後はコーシー・シュワルツの不等式の問題への適用方法についてもまとめてみたいと思っています。 最後までお読みいただき、ありがとうございました。
コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】 まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。 \[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\] この不等式の両辺は正なので2乗すると \[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\] この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。 ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。 例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると (1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\ ≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2 \[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \] 上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。 \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! \! 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\ ≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2 これより \frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 両辺を2分の1乗して \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2} ここで、問題文で与えられた式を変形してみると \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。 次に等号について調べます。 \frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1} より\( y=4x \) つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。 これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。 コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ 今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。 コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。 こんな場合に使える!
5~4. 5m程度の長い竿を使います。関西は足場の高い釣り場が多いため、長めの竿を使用する傾向にありますが、4. 5m以上長い竿は、風などで竿先が煽られ、重くなってしまうのでおすすめしません。際をうまく狙えて取り回しの良い長さの竿を選びましょう。 ヘチ釣り竿に求める調子 関東流なら先調子を! 関東のヘチ釣りはアタリを竿で感じて合わせる必要があるため、穂先が繊細で良く曲がる先調子タイプを選びましょう。2:8や3:7がおすすめです。 関西流なら本調子! 関西の釣り方は目印の浮き沈みを見ながらアタリを取るため、竿の繊細さより、大型に対応できる本調子の竿が良いです。4:6タイプの真ん中あたりがよくしなり、バットが強い竿を選びましょう。 ヘチ釣りは竿のガイドも大事!
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85m 重さ:128g ダイワ ブラックジャックスナイパーメタルチューンヘチF-300M ダイワのヘチ釣り専用竿「ブラックジャックスナイパー」シリーズは軽くて操作性が非常に良い製品です。調子は3:7の先調子、継数も4つあるため、しなりも良いです。価格は33, 000円前後となります。 ダイワ(Daiwa)ブラックジャックスナイパーメタルチューンヘチF-300M 長さ:3. 00m 重さ:155g 黒鯛工房 THE戦竿ヘチ硬調305 黒鯛工房の硬めヘチ釣り用竿です。通常のヘチ釣り用竿と比べて先調子になっているため、石が点在している場所や根がかりが多い場所での使用に最適です。価格は5万円前後となります。 シマノ リンユウサイ落とし込みスペシャルZ 従来製品よりガイド間の幅が狭くなったため、より竿のしなりが増しているリンユウサイ落とし込みスペシャルZ。長さが60cm可変できるため、様々な場所で活躍できる1本です。価格は37, 000円前後となります。 シマノロッドリンユウサイ落とし込みスペシャルZ 長さ:4.
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新 "イカダ・ヘチ" ガイドセット登場! クロダイ狙いの筏・カセ釣り、そしてヘチ釣りフリークから大変ご要望の多かった イカダ竿用とヘチ竿用のガイドセットがガイドスペックを一新し、高級感のあるゴールド仕様で復活しました!! イカダ竿用 ガイドセットは、 I. P. ゴールドカラーKガイド+GMKG仕様の2タイプを設定。 竿の調子や強さでお選びください。 ヘチ竿 用 ガイドセットは、 I. ゴールドカラーKガイドのオールSiCガイド仕様。 道糸にPEラインを使用される皆様にも安心してご使用いただけます。 イカダ1: SiCゴールド イカダ竿セット 希望小売価格 ¥3, 900(税抜) [セット内容]計17個 GMKG1. 5S × 12個 IGKTSG3. 5 × 2個 IGKTSG4. 5 × 1個 IGKWSG5. 5 × 1個 IGKWSG6 × 1個 イカダ2: 希望小売価格 ¥3, 500(税抜) [セット内容]計16個 GMKG1. 5S × 5個 GMKG2. タックル研究室-落とし込み竿とヘチ竿 | 海釣り道場. 0S × 4個 GMKG2. 3S × 3個 IGKTSG4 × 1個 IGKTSG5 × 1個 IGKWSG6 × 1個 ヘチ: SiCゴールド ヘチ竿セット 希望小売価格 ¥8, 000(税抜) [セット内容]計15個 IGKTSG3. 5 × 10個 IGKTSG4 × 2個 IGKTSG5. 5 × 1個 IGKTSG6 × 1個 IGKWSG8 × 1個 ※パッケージ画像は全てイメージです。
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ヘチ釣り用の竿を新しく買いたい! 最初は「チヌが釣れるようになったらいい竿を買おう」と 間に合わせで購入したライトルアーロッドで ヘチ釣りを続けていましたが、 行けば釣れるまでに成長 笑 したので そろそろより良いチヌ竿を購入しようと検討! 3ヶ月で40cm前後のチヌ22枚! この3ヶ月で40cm前後のチヌを22匹釣りましたが まだまだ食いが渋い時のショートバイトを弾いたり、 大物の前アタリなしの一気の突っ込みに対しては バットパワーが無いことでラインに不可が直接かかり、 一気にブッチぎられてしてしまうことを痛感していました。 2017/8/24_へチ釣りで年無しクラスのチヌ! チヌ狙いの夜釣りに大物が潜むポイントへ このポイントは私の経験上では、 満潮の前後1h(計2h)に 特にチヌが入ってくるポイントで... ヘチ釣りをする人なら誰でも欲しくなる gamakatsuのヘチさぐり銀次郎(4万円台)を購入しようと貯金を始めましたが ぜんぜんお金が貯まらない。。! しかも触ったこともない高価な竿を買うのは怖いので 実物を触って感触を確かめないことには買うわけにはいかない! 沖縄の店舗では見たことが無いので 東京に行った際に実際の穂先の柔らかさや軽さを体感。 こんなにも細く、こんなにも柔らかく、こんなにも軽いのか・・・! しかもカッコ良い。。 早く欲しいのにお金が貯まるのを待っているといつになるかわからない。。 そういったこともあり、 その他のヘチ釣りを探してみることに! (銀次郎はちょっと長すぎだし) Daiwa、SHIMANO、宇崎nissin、いろんなメーカーのいろんなヘチ竿のデータを比べたり いろんなインプレを読みましたが そこで気になる記事が・・・。 イカダ竿でヘチ釣り!? イカダ竿をヘチ釣りに使っている人がいるとの記事を webで発見。 イカダ竿の特徴を読めば読むほど 自分が探し求めているチヌ竿! 短竿も豊富! (個人的にはヘチ釣りは短竿がやりやすいのと 長くてパワーありすぎて簡単にチヌが浮いちゃうと つまらなくなるような気がしています。) そして竿先が超極細のグラスソリッドのものばかり! カーボンは反発力があるので チヌのショートバイトを弾いてしまいますが イカダ竿なら波の揺れを吸収する為に 穂先がグラスソリッドになっているので チヌに気づかれることなく 食い込んでくれます。 さっそく各メーカーのイカダ竿のデータを全て比べていき 欲しい竿もいくつか見つかりましたが でもやっぱり欲しいと思えるものは高い!