自然 対数 と は わかり やすく
そう!なのでこの式を、$e$ の定義式として使ってOKだということになりますね。 【コラム】実はこれもeの定義式です 今回、指数関数の逆関数である「対数関数」に対し微分を考えることで、冒頭に紹介した定義式を導くことができました。 では逆関数を考えずに、指数関数 $y=a^x$ に微分をしたらどうなるのでしょうか…? 【指数関数を微分して $e$ の定義式を導く】 まずは同様に、$y=a^x$ を定義どおりに微分をする。 \begin{align}y'&=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\end{align} ここで、$x=0$ における接線の傾きが $1$ のとき $a=e$ であったので、 \begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\end{align} これも $e$ の定義式として扱うことができる。 (導出終了) ここで導いた定義式は、$e=~$という形ではないので、計算においてはちょっと使いづらいです。 しかし、$\displaystyle \frac{0}{0}$ の不定形の極限であるため、 これを知っていないと解けない極限の計算問題があるのも事実です。 色々なネイピア数 $e$ の定義式を学びましたね…。どれも意味は同じなので、 体系的に理解し覚えていきましょう!
自然対数、ネイピア数とは？なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる！！ - 青春マスマティック
この記事では、「自然対数 \(\ln\)」や「自然対数の底 \(e\)」についてわかりやすく解説していきます。 定義や微分積分の公式、常用対数との変換なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。 自然対数とは? 自然対数とは、 ネイピア数 \(e\) を底とした対数「\(\log_e x\)」 のことです。 数学、自然科学のさまざまな分野で必然的に登場するので、「自然」という言葉がつけられています。 自然対数の定義 \(e\) を底とする対数「\(\log_e x\)」を自然対数という。 底を省略して単に「\(\log x\)」、または「 n atural l ogarithm」の頭文字をとって「\(\ln x\)」と表すことが多い。 \(x > 0\) のとき \begin{align}\color{red}{y = \log x \iff e^y = x}\end{align} 特に、 \begin{align}\color{red}{\log e = 1 \iff e^1 = e}\end{align} \begin{align}\color{red}{\log 1 = 0 \iff e^0 = 1}\end{align} 補足 高校数学では自然対数を「\(\log x\)」と表すのが一般的ですが、\(\ln x\) も見慣れておくとよいでしょう。 それでは、「ネイピア数 \(e\)」とは一体なんのことなのでしょうか。 自然対数の底 \(e\) とは? ネイピア数 \(e\) は、特別な性質をたくさんもった 定数 で、以下のように定義されます。 ネイピア数 e の定義 \begin{align}e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \text{…①} \\&= \lim_{n \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \text{…②} \\&= 2. 71828\cdots \end{align} \(e\) は、\(2. 自然対数とは わかりやすく. 71828\cdots\) と無限に続く 無理数 なのですね。 いきなり極限が出てきてテンションが下がりますが(上がる人もいる? )、残念ながら①式も②式もよく用いられるのでどちらも頭に入れておきましょう。 その際、\(h\) や \(n\) の部分には別の記号を使うこともあるので、 位置関係で覚えておきましょう 。 ちなみに、①、②は簡単な置き換えで変換できます。 \(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}\) において \(\displaystyle h = \frac{1}{n}\) とおくと、 \(h \to +0 \iff n \to +\infty\) \(h \to −0 \iff n → −\infty\) であるから、 \(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{n\to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\) 補足 ネイピア数 \(e\) は、まったく別のことを研究していた学者たちがそれぞれ異なるアプローチで発見した数です。 それぞれの数式の意義はここでは語り尽くせないほど興味深いものです。 気になった方は、ぜひ自分でもっと調べてみてください!
exp という記号について 指数関数 e x e^x のことを exp x \exp x と表記することがあります。exponential (「指数の」という形容詞)という英単語から来ています。単に「イーのエックス乗」,または「エクスポネンシャルエックス」と読む人が多いです。 例えば, exp { − ( x − μ) 2 2 σ 2} \exp\left\{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} は e − ( x − μ) 2 2 σ 2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} のことです。 このように指数の肩の部分が複雑な数式になると, e x e^x の表記では大事な部分が小さくて見にくくなってしまいます。 exp \exp を用いた表記の方が見やすいですね!