モンテカルロ 法 円 周杰伦: 平 の つく 四 字 熟語

Wednesday, 26 June 2024

新年、あけましておめでとうございます。 今年も「りょうとのITブログ」をよろしくお願いします。 さて、新年1回目のエントリは、「プログラミングについて」です。 久々ですね。 しかも言語はR! 果たしてどれだけの需要があるのか?そんなものはガン無視です。 能書きはこれくらいにして、本題に入ります。 やることは、タイトルにありますように、 「モンテカルロ法で円周率を計算」 です。 「モンテカルロ法とは?」「どうやって円周率を計算するのか?」 といった事にも触れます。 本エントリの大筋は、 1. モンテカルロ法とは 2. モンテカルロ法で円周率を計算するアルゴリズムについて 3. Rで円を描画 4. Rによる実装及び計算結果 5.

モンテカルロ法 円周率 C言語

6687251 ## [1] 0. 3273092 確率は約2倍ちがう。つまり、いちど手にしたものは放したくなくなるという「保有バイアス」にあらがって扉の選択を変えることで、2倍の確率で宝を得ることができる。 2の平方根 2の平方根を求める。\(x\)を0〜2の範囲の一様乱数とし、その2乗(\(x\)を一辺とする正方形の面積)が2を超えるかどうかを計算する。 x <- 2 * runif(N) sum(x^2 < 2) / N * 2 ## [1] 1. 4122 runif() は\([0, 1)\)の一様乱数であるため、\(x\)は\(\left[0, 2\right)\)の範囲となる。すなわち、\(x\)の値は以下のような性質を持つ。 \(x < 1\)である確率は\(1/2\) \(x < 2\)である確率は\(2/2\) \(x < \sqrt{2}\)である確率は\(\sqrt{2}/2\) 確率\(\sqrt{2}/2\)は「\(x^2\)が2以下の回数」÷「全試行回数」で近似できるので、プログラム中では sum(x^2 < 2) / N * 2 を計算した。 ←戻る

モンテカルロ法 円周率 考え方

モンテカルロ法は、乱数を使う計算手法の一つです。ここでは、円周率の近似値をモンテカルロ法で求めてみます。 一辺\(2r\)の正方形の中にぴったり入る半径\(r\)の円を考えます (下図)。この正方形の中に、ランダムに点を打っていきます。 とてもたくさんの点を打つと 、ある領域に入った点の数は、その領域の面積に比例するはずなので、 \[ \frac{円の中に入った点の数}{打った点の総数} \approx \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4} \] が成り立ちます。つまり、左辺の分子・分母に示した点の数を数えて4倍すれば、円周率の近似値が計算できるのです。 以下のシミュレーションをやってみましょう。そのとき次のことを確認してみてください: 点の数を増やすと円周率の正しい値 (3. 14159... ) に近づいていく 同じ点の数でも、円周率の近似値がばらつく

モンテカルロ法 円周率

5なので、 (0. 5)^2π = 0. 25π この値を、4倍すればπになります。 以上が、戦略となります。 実はこれがちょっと面倒くさかったりするので、章立てしました。 円の関数は x^2 + y^2 = r^2 (ピタゴラスの定理より) これをyについて変形すると、 y^2 = r^2 - x^2 y = ±√(r^2 - x^2) となります。 直径は1とする、と2. で述べました。 ですので、半径は0. 5です。 つまり、上式は y = ±√(0. 25 - x^2) これをRで書くと myCircleFuncPlus <- function(x) return(sqrt(0. 25 - x^2)) myCircleFuncMinus <- function(x) return(-sqrt(0. 25 - x^2)) という2つの関数になります。 論より証拠、実際に走らせてみます。 実際のコードは、まず x <- c(-0. 5, -0. 4, -0. 3, -0. 2, -0. 1, 0. 0, 0. 2, 0. 3, 0. 4, 0. 5) yP <- myCircleFuncPlus(x) yM <- myCircleFuncMinus(x) plot(x, yP, xlim=c(-0. 5, 0. 5), ylim=c(-0. モンテカルロ法 円周率. 5)); par(new=T); plot(x, yM, xlim=c(-0. 5)) とやってみます。結果は以下のようになります。 …まあ、11点程度じゃあこんなもんですね。 そこで、点数を増やします。 単に、xの要素数を増やすだけです。以下のようなベクトルにします。 x <- seq(-0. 5, length=10000) 大分円らしくなってきましたね。 (つなぎ目が気になる、という方は、plot関数のオプションに、type="l" を加えて下さい) これで、円が描けたもの、とします。 4. Rによる実装 さて、次はモンテカルロ法を実装します。 実装に当たって、細かいコーディングの話もしていきます。 まず、乱数を発生させます。 といっても、何でも良い、という訳ではなく、 ・一様分布であること ・0. 5 > |x, y| であること この2つの条件を満たさなければなりません。 (絶対値については、剰余を取れば良いでしょう) そのために、 xRect <- rnorm(1000, 0, 0.

参考文献: [1] 河西朝雄, 改訂C言語によるはじめてのアルゴリズム入門, 技術評論社, 1992.

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