等 電位 面 求め 方

電場と電位。似た用語ですが,全く別物。 前者はベクトル量,後者はスカラー量ということで,計算上の注意点を前回お話しましたが,今回は電場と電位がお互いにどう関係しているのかについて学んでいきましょう。 一様な電場の場合 「一様な電場」とは,大きさと向きが一定の電場のこと です。 一様な電場と重力場を比較してみましょう。 電位 V と書きましたが,今回は地面(? )を基準に考えているので,「(基準からの)電位差 V 」が正しい表現になります。 V = Ed という式は静電気力による位置エネルギーの回で1度登場しているので,2度目の登場ですね! 覚えていますか? 忘れている人,また,電位と電位差のちがいがよくわからない人は,ここで一度復習しておきましょう! 静電気力による位置エネルギー 「保存力」というワードを覚えていますか?静電気力は,実は保存力の一種です。ということは,位置エネルギーが存在するということになりますね!... 一様な電場 E と電位差 V との関係式 V = Ed をちょっとだけ式変形してみると… 電場の単位はN/CとV/mという2種類がある ということは,電場のまとめノートにすでに記してあります。 N/Cが「1Cあたりの力」ということを強調した単位だとすれば,V/mは「電位の傾き」を強調した単位です。 もちろん,どちらを使っても構いませんよ! 電気力線と等電位線 いま見たように,一様な電場の場合, E と V の関係は簡単に計算することが可能! 一様な電場では電位の傾きが一定 だから です。 じゃあ,一様でない場合は? 例として点電荷のまわりの電場と電位を考えてみましょう。 この場合も電位の傾きとして電場が求められるのでしょうか? 電位のグラフを書いてみると… うーん,グラフが曲線になってしまいましたね(^_^;) このような「曲がったグラフ」の傾きを求めるのは容易ではありません。 (※ 数学をある程度学習している人は,微分すればよいということに気付くと思いますが,このサイトは初学者向けなのでそこまで踏み込みません。) というわけで計算は諦めて(笑),視覚的に捉えることにしましょう。 電場を視覚的に捉えるには電気力線が有効でした。 電位を視覚的に捉える場合には「等電位線」を用います。 その名の通り,「 等 しい 電位 をつないだ 線 」のことです! いくつか例を挙げてみます↓ (※ 上の例では "10Vごと" だが,通常はこのように 一定の電位差ごとに 等電位線を書く。) もう気づいた人もいると思いますが, 等電位線は地図の「等高線」とまったく同じ概念です!

高校の物理で学ぶのは、「点電荷のまわりの電場と電位」およびその重ね合わせと 平行板間のような「一様な電場と電位」に限られています。 ここでは点電荷のまわりの電場と電位を電気力線と等電位面でグラフに表して、視覚的に理解を深めましょう。 点電荷のまわりの電位\( V \)は、点電荷の電気量\( Q \)を、電荷からの距離を\( r \)とすると次のように表されます。 \[ V = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{Q}{r} \] ここで、\( \frac{1}{4 \pi \epsilon _0}= k \)は、クーロンの法則の比例定数です。 ここでは係数を略して、\( V = \frac{Q}{r} \)の式と重ね合わせの原理を使って、いろいろな状況の電気力線と等電位面を描いてみます。 1. ひとつの点電荷の場合 まず、原点から点\( (x, y) \)までの距離を求める関数\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)を定義しておきましょう。 GCalc の『計算』タブをクリックして計算ページを開きます。 計算ページの「新規」ボタンを押します。またはページの余白をクリックします。 GCalc> が現れるのでその後ろに、 r[x, y]:= Sqrt[x^2+y^2] と入力して、 (定義の演算子:= に注意してください)「評価」ボタンを押します。 (または Shift + Enter キーを押します) なにも返ってきませんが、原点からの距離を戻す関数が定義できました。 『定義』タブをクリックして、定義の一覧を確認できます。 ひとつの点電荷のまわりの電位をグラフに表します。 平面の陰関数のプロットで、 \( V = \frac{Q}{r} \) の等電位面を描きます。 \( Q = 1 \) としましょう。 まずは一本だけ。 1/r[x, y] == 1 (等号が == であることに注意してください)と入力します。 グラフの範囲は -2 < x <2 、 -2 < y <2 として、実行します。 つぎに、計算ページに移り、 a = {-2. 5, -2, -1. 5, -1, -0. 5, 0, 0. 5, 1, 1. 5, 2, 2. 5} と入力します。このような数式をリストと呼びます。 (これは、 a = Table[k, {k, -2.

2 電位とエネルギー保存則 上の定義より、質量 \( m \)、電荷 \( q \) の粒子に対する 電場中でのエネルギー保存則 は以下のように書き下すことができます。 \( \displaystyle \frac{1}{2}mv^2+qV=\rm{const. } \) この運動が重力加速度 \( g \) の重力場で行われているときは、位置エネルギーとして \( mg \) を加えるなどして、柔軟に対応できるようにしましょう。 2. 3 平行一様電場と電位差 次に 電位差 ついて詳しく説明します。 ここでは 平行一様電場 \( E \)(仮想的に平行となっている電場)中の荷電粒子 \( q \) について考えるとします。 入試で電位差を扱う場合は、平行一様電場が仮定されていることが多いです。 このとき、電荷 \( q \) にはクーロン力 \( qE \) がかかり、 エネルギーと仕事の関係 より、 \displaystyle \frac{1}{2} m v^{2} – \frac{1}{2} m v_{0}^{2} & = \int_{x_{0}}^{x}(-q E) d x \\ & = – q \left( x-x_{0} \right) \( \displaystyle ⇔ \frac{1}{2}mv^2 + qEx = \frac{1}{2}m{v_0}^2+qEx_0 \) 上の項のうち、\( qEx \) と \( qEx_0 \) がそれぞれ位置エネルギー、すなわち電位であることが分かります。 よって 電位 は、 \( \displaystyle \phi (x)=Ex+\rm{const. } \) と書き下すことができます。 ここで、 「電位差」 を 「二点間の電位の差のこと」 と定義すると、上の式より平行一様電場においては以下の関係が成り立つことが分かります。 このことから、電位 \( E \) の単位として、[N/C]の他に、[V/m]があることもわかります! 2. 4 点電荷の電位 次に 点電荷の電位 について考えていきましょう。点電荷の電位は以下のように表記されます。 \( \displaystyle \phi = k \frac{Q}{r} \) ただし 無限遠を基準 とする。 電場と形が似ていますが、これも暗記必須です! ここからは 電位の導出 を行います。 以下の電位 \( \phi \) の定義を思い出しましょう。 \( \displaystyle \phi(\vec{r})=- \int_{\vec{r_{0}}}^{\vec{r}} \vec{E} \cdot d \vec{r} \) ここでは、 座標の向き・電場が同一直線上にあるとします。 つまりベクトル量で考えなくても良いということです(ベクトルのままやっても成り立ちますが、高校ではそれを扱うことはないため省略)。 このとき、点電荷 \( Q \) のつくる 電位 は、 \( \displaystyle \phi(r) = – \int_{r_{0}}^{r} k \frac{Q}{r^2} d r = k Q \left( \frac{1}{r} – \frac{1}{r_0}\right) \) で、無限遠を基準とすると(\( r_0 ⇒ ∞ \))、 \( \displaystyle \phi(r) = k \frac{Q}{r} \) となることが分かります!

2. 4 等電位線(等電位面) 先ほど、電場は高電位から低電位に向かっていると説明しました。 以下では、 同じ電位を線で結んだ「 等電位線 」 について考えていきます。 上図を考えてみると、 電荷を等電位線に沿って運んでも、位置エネルギーは不変。 ⇓ 電荷を運ぶのに仕事は不要。 等電位線に沿って力が働かない。 (等電位線)⊥(電場) ということが分かります!特に最後の(等電位線)⊥(電場)は頭に入れておくと良いでしょう! 2. 5 例題 電位の知識が身についたかどうか、問題を解くことで確認してみましょう! 問題 【問】\( xy \)平面上、\( (a, \ 0)\) に電荷 \( Q \)、\( (-a, \ 0) \) に電荷 \( -Q \) の点電荷があるとする。以下の点における電位を求めよ。ただし無限を基準とする。 (1) \( (0, \ 0) \) (2) \( (0, \ y) \) 電場のセクションにおいても、同じような問題を扱いましたが、 電場と電位の違いは向きを考慮するか否かという点です。 これに注意して解いていきましょう! それでは解答です! (1) 向きを考慮する必要がないので、計算のみでいきましょう。 \( \displaystyle \phi = \frac{kQ}{a} + \frac{k(-Q)}{a} = 0 \ \color{red}{ \cdots 【答】} \) (2) \( \displaystyle \phi = \frac{kQ}{\sqrt{a^2+y^2}} \frac{k(-Q)}{\sqrt{a^2+y^2}} = 0 \ \color{red}{ \cdots 【答】} \) 3. 確認問題 問題 固定された \( + Q \) の点電荷から距離 \( 2a \) 離れた点で、\( +q \) を帯びた質量 \( m \) の小球を離した。\( +Q \) から \( 3a \) 離れた点を通るときの速さ \( v \)、および十分に時間がたった時の速さ \( V \) を求めよ。 今までの知識を総動員する問題です 。丁寧に答えを導き出しましょう!

東大塾長の山田です。 このページでは、 「 電場と電位 」について詳しく解説しています 。 物理の中でも何となくの理解に終始しがちな電場・電位の概念について、詳しい説明や豊富な例・問題を通して、しっかりと理解することができます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 0. 電場と電位 まずざっくりと、 電場と電位 について説明します。ある程度の前提知識がある人はこれでもわかると思います。 後に詳しく説明しますが、 結局は以下のようにまとめることができる ことは頭に入れておきましょう 。 電場と電位 単位電荷を想定して、 \( \left\{\begin{array}{l}\displaystyle 受ける力⇒電場{\vec{E}} \\ \displaystyle 生じる位置エネルギー⇒電位{\phi}\end{array}\right. \) これが電場と電位の基本になります 。 1. 電場について それでは一つ一つかみ砕いていきましょう 。 1. 1 電場とは 先ほど、 電場 とは 「 静電場において単位電荷を想定したときに受ける力のこと 」 で、単位は [N/C] です。 つまり、電場 \( \vec{E} \) 中で電荷 \( q \) に働く力は、 \( \displaystyle \vec{F}=q\vec{E} \) と書き下すことができます。これは必ず頭に入れておきましょう! 1. 2 重力場と静電場の対応関係 静電場についてイメージがつきづらいかもしれません 。 そこで、高校物理においても日常生活においても馴染み深い(? )であろう 重力場との関係 について考えてみましょう。 図にまとめてみました。 重力 (静)電気力 荷量 質量 \(m\quad[\rm{kg}]\) 電荷 \(q \quad[\rm{C}]\) 場 重力加速度 \(\vec{g} \quad[\rm{m/s^2}]\) 静電場 \(\vec{E} \quad[\rm{N/C}]\) 力 重力 \(m\vec{g} \quad[\rm{N}]\) 静電気力 \(q\vec{E} \quad[\rm{N}]\) このように、 電場と重力場を関連させて考えることで、丸暗記に陥らない理解へと繋げることができます 。 1. 3 点電荷の作る電場 次に 点電荷の作る電場 について考えてみましょう。 簡単に導出することができますが、そのためには クーロンの法則 について理解する必要があります(クーロンの法則については こちら )。 点電荷 \( Q \) が距離 \( r \) 離れた点に作る電場の強さを考えていきましょう 。 ここで、注目物体は点電荷 \( q \) とします。点電荷 \( Q \) の作る電場を求めたいので、 点電荷\(q\)(試験電荷)に依らない量を考えることができるのが理想です。 このとき、試験電荷にかかる力 \( \vec{F} \) は と表すことができ、 クーロン則 より、 \( \displaystyle \vec{F}=k\displaystyle\frac{Qq}{r^2} \) と表すことができるので、結局 \( \vec{E} \) は \( \displaystyle \vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \) となります!